Resumen de variable compleja


Conceptos y fórmulas importantes: números complejos

Lo esencial

Un número complejo es cualquier número que se puede escribir como a+iib dóndeaa, a y bb son números reales e i=1

a es la parte real del número complejo y Bes la parte imaginaria del número complejo.

Ejemplo de un número complejo: 9 + i2

i2=1

i3=i

i4=1
Si z=a+iBes un número complejo, a se llama parte real de z y b se llama parte imaginaria de z.

Se puede representar como Re (z) = a e Im (z) = b
Conjugado del número complejo z=x+iy Puede ser definido como z¯=xiy

Ejemplo: 4+i2¯=4i2 y 4i2¯=4+2i
si el numero complejo a+ib=0, luego a=b=0
si el numero complejo a+ib=x+iy, luego a=xb=y
si x+iy es un número complejo, entonces el número real no negativo x2+y2 es el módulo (o valor absoluto o magnitud) del número complejo x+iyPuede denotarse como

| x+iy |=x2+y2     (Tenga en cuenta que el módulo es un número real no negativo)
Forma rectangular (cartesiana) de números

Un número complejo cuando se escribe en la forma a+ib, está en forma rectangular (cartesiana)
eiθ=cosθ+isinθ     (Fórmula de Euler)
Raíces cúbicas de unidad = (1)1/3

=1, 1+i32, 1i32

=1, w, w2 dónde w=1+i32
Propiedades de las raíces cúbicas de la unidad

(1) Las raíces cúbicas de la unidad están en GP 
(2) Cada raíz cúbica compleja de la unidad es el cuadrado de la otra raíz cúbica compleja de la unidad.

Ejemplo:w=1+3i2, w2=13i2

(3) 1+w+w2=0

(4) Producto de todas las raíces cúbicas de la unidad = 1
es decir,w3=1

(5) 1w=w2 y 1w2=w
Raíces cuartas de Unidad, (1)1/4 son +1, -1, + i, -i

Formas polares y exponenciales de números complejos

Las formas polares y exponenciales son muy útiles para tratar con la multiplicación, división, potencia, etc. de números complejos.

Forma polar de un número complejo

Forma polar de un número complejo

Un numero complejo z=x+iy se puede expresar en forma polar como

z=rθ=r cisθ=r(cosθ+isinθ) (Tenga en cuenta que θ puede estar en grados o radianes)

donder=|z|=x2+y2 (tenga en cuenta que r ≥ 0 y y r = módulo o valor absoluto o magnitud del número complejo)

θ=arg z=tan1(yx)(θ denota el ángulo medido en sentido antihorario desde el eje real positivo).

θ se llama argumento de z, se debe notar que2π n +θ también es un argumento de z donde n=3,2,1,0,1,2,3,Tenga en cuenta que, si bien puede haber muchos valores para el argumento, normalmente seleccionaremos el valor positivo más pequeño.

Tenga en cuenta que debemos asegurarnos de que θ esté en el cuadrante correcto. es decir, θ debe estar en el mismo cuadrante donde se encuentra el número complejo en el plano complejo. Esto quedará claro en el siguiente tema, donde veremos varios ejemplos para convertir números complejos entre forma polar y forma rectangular. Se recomienda encarecidamente repasar esos ejemplos para aclarar el concepto.

x=r cosθ
y=r sinθ

Si π<θπ,θse llama como argumento principal de z (en esta declaración, θ se expresa en radianes)

Forma exponencial de un número complejo

Ya hemos visto que en forma polar, un número complejo se puede expresar comoz=r(cosθ+isinθ)Por la fórmula de Euler, tenemos eiθ=cosθ+isinθ

Por lo tanto, podemos expresar un número complejo en forma exponencial como z=reiθ (Tenga en cuenta que θ está en radianes)

Si bien puede haber muchos valores de θ que satisfagan esto, normalmente seleccionaremos el valor positivo más pequeño.
Tenga en cuenta que los radianes y los grados son dos unidades para medir ángulos.

360°=2π radián

Convertir números complejos de forma rectangular a forma polar y forma exponencial

Ejemplo 1: convertir z=1+i3 a la forma polar

r=|z|=x2+y2=12+(3)2=1+3=4=2

arg z=θ=tan1(yx)=tan1(31)=tan1(3)=π3

Aquí el número complejo está en el primer cuadrante del plano complejo. El ángulo que tenemosπ3también está en el primer cuadrante. Por lo tanto, seleccionamos este valor.

Por tanto, la forma polar es z=2(π3)=2[cos(π3)+isin(π3)]

De manera similar, podemos escribir el número complejo en forma exponencial como z=reiθ=2e(iπ3)

(Tenga en cuenta que todos los valores posibles del argumento, arg z son 2π n +π3 where n=0,±1,±2,En consecuencia, podemos obtener otras posibles formas polares y formas exponenciales también)


Ejemplo 2: convertir z=1+i3 a la forma polar

r=|z|=x2+y2=(1)2+(3)2=1+3=4=2

arg z=θ=tan1(yx)=tan1(31)=tan1(3)

Aquí π3 es un valor de θ que cumple la condición θ=tan1(3)Pero está en el cuarto cuadrante. Sabemos que θ debería estar en el segundo cuadrante porque el número complejo está en el segundo cuadrante del plano complejo.

Por eso θ=π3+π=2π3que está en el segundo cuadrante y también cumple la condición De ahí que tomemos ese valor.θ=tan1(3)

Por lo tanto, la forma polar es
z=2(2π3) =2[cos(2π3)+isin(2π3)]

De manera similar, podemos escribir el número complejo en forma exponencial comoz=reiθ=2e(i 2π3)

En consecuencia, podemos obtener otras formas polares y formas exponenciales posibles también.

Tenga en cuenta que todos los valores posibles del argumento, arg z son 2π n +2π3 where n=0,±1,±2,


Ejemplo 3: convertir a forma polarz=1i3

r=|z|=x2+y2=(1)2+(3)2=1+3=4=2

arg z=θ=tan1(yx)=tan1(31)=tan1(3)

Aquí es un valor de θ que cumple la condición, pero está en el primer cuadrante. Sabemos que θ debería estar en el tercer cuadrante porque el número complejo está en el tercer cuadrante del plano complejo.π3θ=tan1(3)

Por lo tanto, que está en el tercer cuadrante y también cumple la condición . De ahí que tomemos ese valor.θ=π3+π=4π3θ=tan1(3)

Por lo tanto, la forma polar es
z=2(4π3) =2[cos(4π3)+isin(4π3)]

De manera similar, podemos escribir el número complejo en forma exponencial comoz=reiθ=2e(i 4π3)

Tenga en cuenta que todos los valores posibles del argumento, arg z son  2π n +4π3 where n=0,±1,±2,


Ejemplo 4: convertir a forma polarz=1i3

r=|z|=x2+y2=(1)2+(3)2=1+3=4=2

arg z=θ=tan1(yx)=tan1(31)=tan1(3)

Aquí es un valor de θ que cumple la condición y también en el cuarto cuadrante. El número complejo también está en el cuarto cuadrante; sin embargo, normalmente seleccionaremos el valor positivo más pequeño para θ.π3

Por lo tanto, que cumple la condición y también está en el cuarto cuadrante. De ahí que tomemos ese valor.θ=π3+2π=5π3θ=tan1(3)

Por lo tanto, la forma polar es
z=2(5π3) =2[cos(5π3)+isin(5π3)]

De manera similar, podemos escribir el número complejo en forma exponencial comoz=reiθ=2e(i 5π3)

Tenga en cuenta que todos los valores posibles del argumento, arg z son2π n +5π3 where n=0,±1,±2,


Ejemplo 5: convertir a forma polarz=8

r=|z|=x2+y2=(8)2+(0)2=(8)2=8

Aquí el número complejo se encuentra en el eje real positivo. De ahí .θ=0

arg z=θ=tan1(yx)=tan1(08)=tan10=0

Por lo tanto, la forma polar esz=80=8(cos0+isin0)

De manera similar, podemos escribir el número complejo en forma exponencial comoz=reiθ=8e0i

Tenga en cuenta que todos los valores posibles del argumento, arg z son 

2π n +0=2πnn=0,±1,±2,


Ejemplo 6: convertir a forma polarz=8

r=|z|=x2+y2=(8)2+(0)2=(8)2=8

Aquí el número complejo se encuentra en el eje real negativo. De ahí .θ=π

Por lo tanto, la forma polar esz=8π=8(cosπ+isinπ)

De manera similar, podemos escribir el número complejo en forma exponencial comoz=reiθ=8eiπ

(Tenga en cuenta que todos los valores posibles del argumento, arg z son, en consecuencia, podemos obtener otras formas polares y formas exponenciales posibles también) 2πn+π where n=0,±1,±2,


Ejemplo 7: convertir a forma polarz=i8

r=|z|=x2+y2=(0)2+(8)2=(8)2=8

Aquí el número complejo se encuentra en el eje imaginario positivo. Por lo tantoθ=π2

Por lo tanto, la forma polar es
z=8π2=8[cos(π2)+isin(π2)]

De manera similar, podemos escribir el número complejo en forma exponencial comoz=reiθ=8e(iπ2)

(Tenga en cuenta que todos los valores posibles del argumento, arg z son 2π n +π2 where n=0,±1,±2,En consecuencia, podemos obtener otras posibles formas polares y formas exponenciales también)


Ejemplo 8: convertir z=i8 a la forma polar

r=|z|=x2+y2=(0)2+(8)2=(8)2=8

Aquí el número complejo se encuentra en el eje imaginario negativo. Por eso θ=π2.

Sin embargo, normalmente seleccionaremos el valor positivo más pequeño para θ. Por esoθ=π2+2π=3π2

Por tanto, la forma polar es
z=83π2 =8[cos(3π2)+isin(3π2)]

De manera similar, podemos escribir el número complejo en forma exponencial como z=reiθ=8e(i3π2)

(Tenga en cuenta que todos los valores posibles del argumento, arg z son 2π n +3π2 where n=0,±1,±2,En consecuencia, podemos obtener otras posibles formas polares y formas exponenciales también)

Convertir números complejos de forma polar a forma rectangular (cartesiana)

Ejemplo 1: convertir 2[cos(5π3)+isin(5π3)] a forma rectangular (cartesiana)

x=rcosθ =2cos5π3=2×12=1

y=rsinθ =2sin5π3=2×(32)=3

z=x+iy=1i3


Ejemplo 2: convertir 8[cos(π2)+isin(π2)] a forma rectangular (cartesiana)

x=rcosθ=8cosπ2=2×0=0

y=rsinθ=8sinπ2=8×1=8

z=x+iy=0+8i=8i

Convertir números complejos de forma exponencial a forma rectangular (cartesiana)

Ejemplo 1: convertir 2e(i2π3) a forma rectangular (cartesiana)

x=rcosθ =2cos2π3=2×(12)=1