Cómo ser bueno en matemáticas

Lo primero que debemos tener claro, es que nuestro cerebro es un músculo, y como todo músculo se mejora y perfecciona entrenando. Y esto es extrapolable a todo, incluida nuestra destreza en matemáticas.

Un gran comienzo es perder el miedo a las matemáticas, y no temer fallar, cada vez que hacemos mal un problema, aprenderemos el doble si sabemos donde hemos fallado, por tanto, un gran consejo es, practicar y practicar, pero sobre todo intentar siempre entender lo que estamos haciendo.

Problema del conejo, la Tierra y una cuerda con solución

Este problema que aparece en el libro Los elementos de Euclides es muy sencillo pero puede llegar a ser un gran quebradero de cabeza, es por eso que también es considerado una paradoja matemática.


Imagina que rodeamos una pelota con una cuerda, si alargamos un metro esa cuerda crearemos un hueco entre la cuerda y la pelota de 16 cm, que es un espacio suficiente para que pueda pasar por ahí un conejo. 

Bien, la cuestión es la siguiente. Si ahora rodeamos con una cuerda la Tierra y una vez rodeada alargamos la cuerda un metro, ¿Pasaría un conejo entre el hueco creado entre la Tierra y el conejo? ¿Cuánto mediría ese hueco?
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Solución:

Pues sí pasaría el conejo, y el hueco mediría exactamente lo mismo que en el caso de la pelota 16 cm. 

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Paradoja de la sorpresa

Un profesor anuncia a sus alumnos, que un día cualquiera de la semana siguiente, habrá un examen sorpresa. Además, el profesor asegura a sus alumnos, que ninguno de ellos, podrá deducir la fecha del examen hasta el momento en el cual, se produzca dicho examen.


Entonces un alumno deduce que si no hay examen los cuatro primeros días de la semana, entonces el examen sería el viernes, pero el examen no sería ninguna sorpresa, y el profesor dijo que no sabríamos cuando se realizaría el examen, hasta que llegase ese mismo día, con lo cual, no podría ser ese día. Por tanto, solo podrá suceder en los cuatro primeros días de la semana, pero ¿Qué sucede si en los tres primeros no hay examen?, que se realizaría el jueves, y eso no sería una sorpresa. Con el mismo razonamiento demostró que no podría haber examen ni el miércoles, ni martes ni lunes. Y saltando de alegría el alumno dedujo que no habría ningún examen, y decidió no estudiar. Entonces, el profesor puso el examen el lunes, ¡Y menuda sorpresa se llevó el alumno!


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Paradoja de la gente interesante

El inventor de esta paradoja fue Edwin Bechenbach, quien la publicó en The American Mathematical Monthly bajo el título de Interesting Integers. Sabemos que no hay dos personas completamente iguales en el planeta, entonces ¿Podemos decir que toda persona es interesante en algún sentido?


Imagina que en un papel tenemos una lista de todas las personas interesantes del planeta y en otro papel tenemos la lista de todas las personas vulgares del planeta, si nos centramos en la lista de las personas vulgares, veremos que en ella, se encuentra la persona más insignificante de todas, pero eso le hace justamente interesante, ya que destaca en algo, pero ahora que está en la lista de las personas interesantes, en la de vulgares habrá otra persona que es la persona más vulgar ¿no? Lo que la convierte en interesante. Y si continuamos así, todas las personas acabarán en la lista de interesantes. 

Pero entonces, dentro de la lista de interesantes la persona menos interesante, ¿lo sigue siendo?

Si la respuesta es no, entonces es la única persona vulgar, convirtiéndose automáticamente en interesante.


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Paradoja del Quijote

Esta paradoja puede verse en el segundo libro del Quijote, Segunda parte del ingenioso caballero don Quijote de la Mancha. Es un claro ejemplo de que no existe ley que sea perfecta.


En la novela se nos cuenta de una isla donde existía una curiosa ley. Cada vez que un visitante penetraba en la isla un guardia debía preguntar al viajero ¿Para qué viene usted aquí? Si lo que dice el visitante es mentira entonces es ahorcado en ese mismo lugar.

Entonces, un día un visitante que llegaba a la isla contestó ¡He venido de visita a esta isla para que me ahorquéis!

Los guardias se dieron cuenta enseguida de la paradójica situación, si no ahorcaban al visitante este habría mentido, por tanto habría que ahorcar al viajero, pero entonces, habría dicho la verdad, y no podría ser ahorcado. Ante esta situación el gobernador que era Sancho Panza, tuvo que tomar cartas en el asunto, y al darse cuenta de que al tomar cualquier decisión, vulneraría la ley, decidió ser clemente y salvar al viajero. 

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Paradoja de los perritos

Esta paradoja es perfecta para introducirse en el mundo de la probabilidad. Para darse cuenta de lo importante que es entender un problema y lo fácil que es confundirse o incluso que nos engañen. 


Vamos con la paradoja:

Tengo dos perritos en casa, uno marrón y otro negro, entonces, un día llegaron a casa dos personas de visita:

Una de ellas preguntó, ¿Es macho alguno de los perros?

Yo respondí que sí, y además como me gusta mucho hacer pensar a la gente, dije que la probabilidad de que ambos perros sean machos es de 1/3.

Entonces la otra persona que había venido de visita me preguntó si es macho el perro negro, entonces yo respondí que en efecto, que el perro negro es macho, y que la probabilidad de que ambos fuesen machos es de 1/2, es decir del 50%.

Entonces me dijeron que esto no tenía sentido, ¿Por qué cambia la probabilidad si en ambos casos estamos hablando de los mismos perros? Parece inventado.

Todo lo que yo dije es cierto, se trata de conceptos básicos de probabilidad. Primero veamos cuáles son las opciones que tenemos.

Como solo hay dos perros, pueden ser:


HEMBRA-HEMBRA, HEMBRA-MACHO
MACHO-HEMBRA y MACHO-MACHO


Cuando solo sabemos que hay un macho pero no sabemos cual, las opciones son 3.


HEMBRA-MACHO, MACHO-HEMBRA 
y MACHO-MACHO


Por tanto las opciones de que ambos perros sean machos es de 1/3.

Pero cuando sabemos que uno de ellos en concreto es macho, las opciones son:

MACHO-HEMBRA y MACHO-MACHO

Es decir, la probabilidad de que ambos sean macho es de 1/2.

Increíble pero cierto.

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Paradoja del número 9

El número 9 tiene misteriosas paradojas. ¿Sabías que el número 9 está presente en la fecha de nacimiento de todas las personas?


Por ejemplo, Albert Einstein nació el 14 de marzo de 1879, si ordenamos la fecha en un sólo número, tenemos, 14031879, ahora formamos otro número cualquiera usando las mismas cifras, por ejemplo, 43118097.

Ahora tenemos dos números digamos el ordenado y el desordenado, uno será mayor que otro. Procedemos restando el menor número al mayor, en nuestro ejemplo, el resultado de la operación es 29086218, y por último sumamos todas las cifras del resultado. En este caso la suma es 36 y 3+6 es igual a 9.

Esto ocurre con todas las cifras. 

Veamos ahora la fecha de nacimiento de Marie Curie que es el 7 de noviembre de 1867. Realizamos las mismas operaciones que en el caso anterior.

Creamos un único número con las cifras de la fecha de nacimiento: 7111867.
Creamos otro número cualquiera usando las mismas cifras: 1617178.
Restamos el menor número al mayor: 5494689.
Sumamos todas las cifras del resultado: 45.
4+5 es igual a 9.

Podéis probar con cualquier número, no solo fechas, funciona con cualquier cosa que podáis convertir en número. Recuerda que hay que sumar el valor de todas las cifras del número, hasta que solo quede una cifra, que será el 9.

Esta paradójica propiedad se conoce como la prueba del nueve, que se basa en el cálculo de las raíces digitales. Siendo excelentes introducciones al estudio de las congruencias en matemática algebraica.

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Paradoja del enunciado

Veamos ahora una paradoja acerca de proposiciones que afirman ser verdad pero son falsas y al revés, niegan un enunciado que es cierto. Es parecido a si entras en una habitación y dentro de esta, una persona en voz alta te dice que está terminantemente prohibido hablar.

Por ejemplo:
Esta frase tiene seis palabras

¿Cuántas palabras tiene realmente? Cinco, entonces deducimos que el enunciado es falso, entonces el enunciado contrario debería ser cierto.

Esta frase no tiene seis palabras

Pero esto también es falso, ¡menudo dilema!

A continuación tenemos tres enunciados falsos ¿Podría usted decir cuáles son?

1. 5x6 = 30
2. 1+1 = 7
3. 10/2 = 5
4. 16+78= 0
5. 5+5 = 10

Únicamente son falsos los enunciados 2 y 4, pero en consecuencia el propio enunciado inicial es falso también lo que hace un total de 3 ¿Entonces es cierto o falso?

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Paradoja de los relojes de Lewis Carroll

¿Qué reloj marca mejor la hora, el reloj que esta parado o el reloj que está siempre activo pero que se retrasa un minuto cada día?


Aparentemente, nos da la impresión de que un reloj que se retrasa un minuto cada día es mejor, pero recordemos que la pregunta es cuál marca mejor la hora, y el reloj que se retrasa marca la hora bien cada dos años, mientras que el parado acierta la hora 2 veces al día.

El reloj que se retrasa un minuto cada día, da la hora correctamente una vez cada dos años. El reloj parado da la hora correcta dos veces al día. Por lo tanto, el reloj parado marca mejor la hora.

¿Cómo podemos averiguar con que frecuencia marca en punto el reloj que se retrasa un minuto? Sabiendo que cada día el reloj pierde un minuto, volverá a estar actualizado cuando pierda 12 horas, es decir 720 minutos, o lo que es lo mismo, 720 días, que es prácticamente 2 años.

Charles Lutwidge Dodgson, más conocido por su seudónimo Lewis Carroll, creador de Alicia en el país de las maravillas, fue lógico, matemático, fotógrafo y escritor británico. Esta paradoja puede verse en muchas de sus publicaciones.

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Paradoja de la media

Algunos términos estadísticos pueden ser en extremo paradójicos e incluso engañosos. Usados para confundir o manipular información con bastante frecuencia en política o en grandes empresas.


En esta ocasión veremos un ejemplo con la media estadística, que es por definición una media aritmética, Pero cuando hay valores extremos muy dispares, el valor medio puede crear una impresión falsa. 

Para entenderlo mejor, veamos la conversación entre el director de una empresa y un candidato al puesto de operario.

El director está entrevistando a un candidato al puesto.

Director: Aquí pagamos muy bien, el salario medio es de 400 euros semanales. Pero durante el periodo de formación sólo cobrará usted 100 euros, pero pronto le subiremos el sueldo.

Al cabo de unos cuantos días el empleado fue a ver al jefe, al ver que solo había visto aumentado su sueldo en 20 euros semanales.

Empleado: ¡Me ha engañado usted! Todos los operarios estamos cobrando 120 euros a la semana ¿Cómo puede ser que el salario medio sea de 400 euros semanales?

Director: El salario medio es de 400 euros y se lo voy a demostrar. Yo gano 3000, mi hermano 2000 y mis seis parientes ganan cada uno 300 y los 10 operarios ganáis 120 cada uno. En total  el salario semanal es de 9200 para 23 personas. Si calculamos la media da 400 euros.

Es muy fácil encontrar situaciones parecidas donde la media induce a error. Si nos fijamos, continuamente en las noticias vemos que usan este recurso.

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Paradoja de los gatitos

Cuando calculamos y analizamos probabilidades es fácil caer en el engaño y despistarse, esta paradoja presentada como la paradoja de los gatitos es un ejemplo de ello.


Imagina que una pareja de gatos va a tener una camada de 4 gatos. 

El que de esos 4 gatos, un gatito sea macho o hembra es cosa de cara o cruz, por tanto, es evidente que lo más probable es que haya dos machos y dos hembras.

¿Es correcto este razonamiento? Aunque la lógica hace pensar que sí, paradójicamente la respuesta es no.

Analicemoslo. Si definimos H a las hembras y M a los machos, como solo son 4 gatos y solo pueden ser machos o hembras, todos los casos posibles son 16 y son los siguientes.

MMMM
MMMH
MMHM
MHMM
HMMM
HMMH
HMHM
HHMM
MHHM
MMHH
MHMH
MHHH
HHHM
HMHH
HHMH
HHHH

Solamente en dos de los 16 casos son todas las crías del mismo sexo, es decir, su probabilidad es de 2/16. Por otro lado, la probabilidad de que sean 2 machos y 2 hembras es de 6/16 que parece ser la que más opciones tiene.

Pero nos queda otra composición a considerar, y es, tres de un sexo y uno del otro. Esto sucede con una probabilidad de 8/16 y su probabilidad es la mayor. 

Por tanto el caso más verosímil es la de 3 de un sexo y 1 de otro.

Esto se puede aplicar a todo cuya probabilidad sea siempre del 50%, como a todos los seres vivos por supuesto, incluido los humanos. A todo el mundo le sorprende que en familias de 4 hijos lo más probable es que existan 3 de un sexo y 1 del otro.


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Paradoja del mentiroso

Si una persona dice que siempre dice mentiras. ¿Está esa persona diciendo la verdad?. Si analizamos la frase, vemos que, si dice la verdad, estaría mintiendo porque ha dicho que siempre dice mentiras, pero si lo que dice es mentira, entonces acaba de decir una verdad, lo cual es contradictorio con su frase.


Veamos ahora una versión más sencilla de la paradoja del mentiroso, analicemos la frase de la imagen "Esta frase es falsa" ¿Es la frase verdadera? De ser así, sería falsa. ¿Es entonces falsa? En tal caso sería verdadera. 

Las contradicciones como estas en nuestro mundo cotidiano son más corrientes de lo que se cree.

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Paradoja de Abilene

La paradoja, básicamente sucede, cuando un grupo de personas llevan a cabo una decisión sin estar realmente a favor de dicha decisión. La paradoja de Abilene fue mencionada por primera vez por Jerry B. Harvey en su libro de 1988 “The Abilene Paradox and other Meditations on Management”. Para entender mejor la paradoja, Harvey cita la siguiente anécdota para explicar el fenómeno: 


En Coleman, una calurosa tarde de verano, una familia propone hacer un viaje. El suegro propone viajar a Abilene, municipio situado a 180 kilómetros, la mujer dice: Parece una buena idea, pese a tener dudas porque el viaje sería caluroso y largo, pensando que sus preferencias no comulgan con las del resto del grupo. Su marido dice: A mí me parece bien. Sólo espero que tu madre esté de acuerdo. La suegra después dice: ¡Por supuesto que quiero ir. Hace mucho que no visito Abilene!. El viaje es caluroso, polvoriento y largo. Cuando llegan a una cafetería, la comida es mala y vuelven agotados después de cuatro horas.

Uno de ellos, de manera jocosa, dice: ¿Fue un gran viaje, no?. La suegra responde que, de hecho, hubiera preferido quedarse en casa, pero decidió seguirlos sólo porque los otros tres estaban muy entusiasmados. El marido dice: No me sorprende. Sólo fui para satisfacer al resto de ustedes. La mujer dice: Sólo fui para que estuviesen felices. Tendría que estar loca para desear salir con el calor que hace. El suegro después menciona que lo había sugerido únicamente porque le pareció que los demás podrían estar aburridos.

El grupo se queda perplejo por haber decidido hacer en común un viaje que nadie entre ellos quería hacer. Cada cual hubiera preferido estar sentado cómodamente, pero no lo admitieron entonces, cuando todavía tenían tiempo para disfrutar de la tarde.

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